まじめにふまじめ

くず大学生の惨状

確率の話をしよう3

さて前回は組み合わせと順列の違いを天才ガリレオ・ガリレイが発見したというお話でしたが、今回はより本格的な確率論の誕生についてです。またまたとてつもない数学者とギャンブルが出てきます。

ある二人がギャンブルをしていました。しかし事情により決着がつかないまま終わらなくてはならなくなりました。当初はAとBの二人のうち、先に3回勝った方が賭け金をもらえるというルールでした。途中でやめざるを得なくなったとき、Aは2回、Bは1回勝っていました。このとき、賭け金の分配はどのようにすればよいでしょうか?

ここで出てくるのがパスカルフェルマーです。パスカルは哲学者でもあり「我々は考える葦である」という名言でも有名ですし、フェルマーは「フェルマーの最終定理」で有名ですよね。

彼らはこう考えました。4回目の勝負をやったとすると1/2の確率でAが勝ちこの時点でゲームは終了です。同じく1/2の確率でBが勝ち5回目へ突入します。5回目はどちらも勝つ確率は1/2でその時点でゲームが終了します。

整理するとAがゲーム自体に勝利する確率は4回目で勝つ1/2と5回目の1/2×1/2=1/4を足し合わせて3/4です。一方Bがゲーム自体に勝利する確率は4回目も5回目も勝たなければいけないので1/2×1/2=1/4となります。つまり、もしこの時点で中断となった場合は賭け金の合計の3/4をAに、1/4をBに分ければ良いということになります。

ここでこの二人が使ったのが確率の足し算(加法定理)と掛け算(乗法定理)なんですね。いまでは当たり前だと思われていますが最初に発見することは想像以上に大変なんでしょうね。だから学問の世界でも美術芸術の世界でもパイオニアというのは偉大なんですね。

ということで、これでだいたい確率の基本的なことは終わったので次回からはもう少し突っ込んだ内容に入っていきたいなと思います。

ではでは~